PID 算法：从理论公式到 C 语言实现

PID（比例-积分-微分）控制器占据了工业控制的 90% 以上。无论是无人机的姿态控制、3D 打印机的加热头温度，还是平衡车的直立，核心都是 PID。

1. 核心公式拆解

$$ u(t) = K_p e(t) + K_i \int e(t) dt + K_d \frac{de(t)}{dt} $$

P (Proportional) 比例：基于当前的误差。误差越大，输出修正力越大。“现在错了多少？”
I (Integral) 积分：基于过去的累积误差。用于消除稳态误差，“过去欠了多少？”。
D (Derivative) 微分：基于误差的变化率。预测未来，阻尼振荡，“将来会错多少？”。

2. 离散化与 C 实现

在 MCU 中，我们处理的是离散时间。

typedef struct {
    float Kp, Ki, Kd;
    float prevError;
    float integral;
    float outMax, outMin; // 输出限幅
} PID_Controller;

float PID_Update(PID_Controller *pid, float setPoint, float measure) {
    float error = setPoint - measure;
    
    // P
    float pOut = pid->Kp * error;
    
    // I (带抗饱和)
    pid->integral += error * DT;
    float iOut = pid->Ki * pid->integral;
    
    // D (后向差分)
    float derivative = (error - pid->prevError) / DT;
    float dOut = pid->Kd * derivative;
    
    pid->prevError = error;
    
    float output = pOut + iOut + dOut;
    
    // 输出限幅 (Clamping)
    if (output > pid->outMax) output = pid->outMax;
    if (output < pid->outMin) output = pid->outMin;
    
    return output;
}

3. 进阶技巧

3.1 积分抗饱和 (Anti-windup)

当执行机构（如电机 PWM）达到最大值（100%）时，误差仍然存在，积分项会持续累加到一个巨大的数值。一旦误差反向，系统需要很长时间才能“退饱和”。

解法：当 output 达到限幅且 error 与 output 同向时，停止累加积分。

3.2 微分先行 (Derivative on Measurement)

如果你改变目标值（SetPoint），误差会瞬间突变，导致 D 项产生巨大的尖峰冲击。

解法：对测量值（Measure）求导，而不是对误差求导。D = -Kd * d(Measure)/dt。此特性称为“微分先行”或“测量微分”。

3.3 滤波

传感器数据通常由噪点。直接求 D 会放大噪声。

解法：对测量值 measure 进行低通滤波（如一阶 RC 数字滤波）后再送入 PID。

4. 调参口诀 (Ziegler-Nichols 简化版)

置 I、D 为 0，加大 P 直到系统开始等幅振荡。
取此时 P 的 0.6 倍作为系统的 Kp。
加大 I 以消除静差，减小 D 以抑制超调。

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